Die Kraft \(F_{R}\) zur Überwindung des Rollwiderstandes berechnet sich aus dem Gesamtgewicht \(m_{G}\) in kg, der Erdbeschleunigung \(g=9,81 \, m/s^{2}\) und einem Rollwiderstandsbeiwert \(\mu\). Hier wird der Rollwiderstandsbeiwert aus einem Rollversuch mit \(\mu = 0,06\) verwendet. Der Rollwiderstandsbeiwert hat keine Einheit.

\(F_{R} = m_{G} \cdot g \cdot \mu\)

In den Ingenieurwissenschaften verwendet man die Einheiten gemäß dem „System Internationale d’unités“, kurz SI-Einheiten. Verwendet man die SI-Einheiten (\(kg,m,s\)) bei den Größen in der Gleichung, so ergibt sich die Kraft direkt in der Einheit Newton und es bedarf keiner Umrechnung. Um ein Gefühl für die Größenordnung der Kraft zu bekommen, lässt sich die Kraft durch 10 Teilen und man erhält ungefähr das entsprechende Gewicht im Schwerefeld der Erde. Das heißt, eine Kraft von \(10 \, N\) entspricht etwa einem Gewicht von \(1\,kg\).

Die Geschwindigkeit wird üblicherweise in \(km/h\) angegeben. Das ist jedoch keine SI-Einheit. Die SI-Einheit für die Geschwindigkeit ist \(m/s\). Um die Geschwindigkeit in die Gleichung für den Luftwiderstand einzusetzen und ein Ergebnis in Newton ohne Umrechnung zu erhalten, muss man die Geschwindigkeit in die SI-Einheit umrechnen. Dies geht recht einfach, indem man die Geschwindigkeit immer mit den Umwandlungsfaktoren multipliziert. So ist hat 1 Stunde 3600 Sekunden, oder \(\frac{1\,h}{3600 \,s} = 1\). Auch lässt sich die Länge umrechnen: \(1\ km\) hat \(1000\ m \) oder \(\frac{ 1000 \,m}{1 \,km} = 1\).

\(15 \, km/h \cdot \frac{1\,h}{3600 \,s} \cdot \frac{ 1000 \,m}{1 \,km}\)

Der Luftwiderstand eines bewegten Körpers ist durch die projizierte Fläche \(A\), den dimensionslosen Widerstandsbeiwert \(c_{w}\) und die Luftdichte \(\rho_{L} = 1,2 \, kg/m^3\) gegeben. Für die Fahrerin bzw. den Fahrer wird eine Querschnittsfläche von \(A= 0,3\, m^{2}\) und ein Widerstandsbeiwert \(c_{w} = 0,9\) angenommen. Die Geschwindigkeit \(v\) geht quadratisch in die Kraft ein. Das heißt, bei doppelter Geschwindigkeit ist der Luftwiderstand 4-mal so groß.

\(F_{L} = \frac{1}{2} \cdot \rho_{L} \cdot c_{w} \cdot A \cdot v^{2}\)

Das Skateboard soll auch in der Lage sein, den Berg hinaufzufahren. Dafür muss es sich selbst und die Fahrerin bzw. den Fahrer den Berg „hinaufheben“. Somit hängt die Kraft von der Gesamtmasse \(m_{G}\) und der Erdbeschleunigung \(g = 9,81 m/s^{2}\) ab. Natürlich hängt die Kraft auch davon ab, wie steil der Berg ist. Hier wurde eine maximale Steigung von \(\alpha = 5°\) angenommen.

\(F_{S} = m_{G} \cdot g \cdot \sin (\alpha)\)

Den letzten Teil der Gleichung geben wir der Einfachheit halber wie folgt an: \(\sin (\alpha) = 0,087\).

Nachdem alle Widerstandskräfte berechnet worden sind, sollen sie der Größe nach sortiert werden. Das ist für Ingenieur*innen wichtig, um zu sehen, welche Kräfte man bei einer ersten Untersuchung unter Umständen weglassen kann, weil sie viel kleiner als die beiden Vergleichskräfte sind.

Um einen passenden Elektromotor auszuwählen, muss die notwendige Antriebsleistung \(P\) bestimmt werden. Diese ist von der Geschwindigkeit \(v\) und der Gesamtkraft \(F_{G} = F_{R} + F_{L} + F_{S}\) abhängig. Da der Windwiderstand bereits berechnet wurde, kann er auch mitberücksichtigt werden. Die Geschwindigkeit ist hier, wie zuvor, in \(m/s\) und die Kraft in \(N\) einzusetzen. Dann ergibt sich die Leistung in der Einheit Watt (\(W\)). Bei Autos wird die Leistung meist in \(Ps\) oder Kilowatt (\(kW\)) angegeben. Um die Einheit Watt zu erhalten, muss die Leistung des Autos mit \(1000\) multipliziert werden.

\(P = v \cdot F_{G}\).

Die Leistung ist proportional zum Produkt aus Drehmoment und Drehzahl. Da die Leistung schon bekannt ist (\(330,7\ W\)), kann aus der Raddrehzahl das Drehmoment ermittelt werden.

Die notwendige Drehzahl der Räder ergibt sich aus der Geschwindigkeit \(v\) und dem Raddurchmesser \(D\). Zunächst wird der Radumfang aus \(U = \pi \cdot D\) berechnet. Bei einem Raddurchmesser von \(60 \, mm\) ergibt sich ein Umfang von \(U = 0,1885 \,m\). Die Drehzahl berechnet sich dann aus \(n = v/U\).

Das Drehmoment ist definiert als das Produkt aus Kraft und Hebelarm, welcher an der Achse anliegt. Daraus ergibt sich auch die Einheit des Drehmoments \(Nm\). Um sich zu veranschaulichen, wieviel \(1\, Nm\) ist, kann man sich vorstellen, auf einem waagerechten Hebel der Länge \(1 \,m\) ein Gewicht von \(1 \ kg\) zu platzieren. Wie zuvor schon bemerkt entspricht \(1 \,kg\) im Schwerefeld der Erde ungefähr \(10\ N\). Somit ergibt sich an der Achse ein Drehmoment von \(10 \,Nm\).

Der Zusammenhang zwischen Leistung und Drehmoment lässt sich einfach veranschaulichen. Wenn ein hohes Drehmoment (\(M\)) benötigt wird, benötigt man mehr Leistung (\(P\))(=Arbeit pro Zeit). Somit geht das Drehmoment linear in die Leistung ein. Auf der anderen Seite steigt die Leistung auch mit der Anzahl der Umdrehungen (\(n\)). Somit lautet der Zusammenhang \(P= 2\cdot \pi \cdot M \cdot n\). Um die Aufgabenstellung zu beantworten, muss man nun die Gleichung zum Drehmoment \(M\) umstellen. Das Drehmoment hat dann die Einheit Newton-Meter (\(Nm\)).

Klären Sie zunächst aus Ihrer eigenen Erfahrung die Frage, wie sich Räder bei einer Kurvenfahrt drehen, wenn sie über eine Achse starr verbunden sind. Nehmen Sie bei Problemen ein Modellauto zur Hilfe und markieren Sie die Nullstellung der Räder vor der Kurvenfahrt.

Wird ein Rad angetrieben und bewegt sich das Fahrzeug entsprechend, stimmen die Radgeschwindigkeit und die Fahrzeuggeschwindigkeit nicht überein. Das Rad dreht sich im Antriebsfall einige Prozent schneller als für die Fahrzeuggeschwindigkeit notwendig. Dies nennt man Schlupf. Es stellt sich daher die Frage, ob es notwendig ist, dass sich die angetriebenen Räder unterschiedlich schnell drehen.

Damit sich die Räder auf einer Achse unterschiedlich schnell drehen können, muss ein sogenanntes Differential verbaut werden. Dieses mechanische Bauteil ermöglicht bei unterschiedlicher Raddrehzahl immer noch eine Kraftübertragung auf die Straße.

Um die Frage nach der Notwendigkeit des Differentials zu klären, müssen wir zunächst wissen, welchen Kurvenradius das Skateboard fahren soll. Nehmen wir z.B. einen Kurvenradius von \(R_K = 5 \,m\) an und legen den Abstand der Rollen von linker und rechter Seite auf \(\delta = 12 \,cm\) fest. Bei einer vollständigen Umdrehung berechnet sich der Weg, den das kurveninnere Rad zurücklegt, aus \(U_{i} = 2 \pi R_{K}\). Das kurvenäußere Rad legt den Weg \(U_{a} = 2 \pi \left(R_{K} + \delta \right)\) zurück. Nun soll im ersten Schritt berechnet werden, wie viele Radumdrehungen innen und außen bei einer Kurvenfahrt erfolgen. Dazu muss man den Weg \(U_{i}\) bzw. \(U_{a}\) durch den Radumfang \(U\) teilen \(n_{i} = U_{i}/U\).

Auf Basis der verschiedenen Drehzahlen lässt sich nun der für die Kurvenfahrt notenwendige prozentuale Schlupfanteil berechnen. Hierzu teilt man die Drehzahldifferenz bspw. durch die Drehzahl am Außenradius:

\(\gamma = \frac{n_{a}-n_{i}}{n_{a}}\).