Kybernetik – Differentialgleichungen
Um dynamische Systeme mathematisch zu beschreiben verwenden Kybernetiker Differentialgleichungen. Dabei wird die Zeitableitung einer physikalischen Größe \(x(t)\) zum Zeitpunkt \(t\) (geschrieben \(\dot x(t),~x^\prime\) oder \(\frac{dx(t)}{dt}\) als Funktion eben dieser Größe beschrieben. Also:
\(\dot x(t) = f(x(t))\).
Die allereinfachste Form einer solchen Gleichung ist die „lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten”:
\(\dot x(t) = a \cdot x(t) +b\)
Wobei \(a\) und \(b\) zwei Konstanten sind.
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Aufgabe 1 von 1
Hier sind drei Beispiele für physikalische Systeme, deren Verhalten durch eine solche einfache lineare Differentialgleichung beschrieben werden kann:
- Radioaktiver Zerfall:
\(\dot Q(t)=-r\cdot Q(T)+k\)
\(Q(t)\) beschreibt die vorhandene Menge radioaktives Material zum Zeitpunkt \(t\), \(r\) die Zerfallsrate, die je nach Stoff unterschiedlich ist und \(k\) die konstante Zuführung von neuem Material.
Quelle: Universität Stuttgart
- Serienschaltung von einem Widerstand und einem Kondensator (RC-Glied) (vgl. Abb. 1):
\(R\cdot C\cdot u(t)+u(t)=u_e\)
\(R\) ist der Widerstandswert, \(C\) die Kapazität, \(u(t)\) die Spannung am Kondensator zur Zeit \(t\) und \(u_e\) die Eingangsspannung, die angelegt wird.
- Newtonsches Abkühlungsgesetz:
\(u^\prime(t)=-k(u(t)-a)\)
\(u(t)\) beschreibt die Temperatur des betrachteten Objekts zur Zeit \(t\), \(a\) die Umgebungstemperatur und \(k\) eine konstante Abkühlungsrate.
Formen Sie die obenstehenden Differentialgleichungen so um, dass sie in der allgemeinen Form \(\dot x(t)=a\cdot x(t)+b\) stehen. Identifizieren Sie die Konstanten \(a\) und \(b\). Vervollständigen Sie damit die folgende Tabelle.
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Zerfall |
RC-Glied |
Newton. Abkühlungsgesetz |
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x |
|||
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a |
|||
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b |