Grundlagen – Etwas zum Knobeln
Nun noch ein bisschen Mathematik zum Knobeln. Den „Satz von Bayes“ kennen Sie ja jetzt schon aus dem Aufgabenteil Grundlagen – Mit Unsicherheiten umgehen: Normalverteilung und Hypothesentest.
Das Quellen- und Literaturverzeichnis zu dieser Seite finden Sie hier.
Aufgabe 1 von 1
Wachmann Walter muss auf seinem nächtlichen Rundgang 10 Türen mit 10 verschiedenen Schlüsseln aufschließen. Die Schlüssel stecken alle in seiner rechten Hosentasche und sehen alle gleich aus. Wenn Walter an eine Tür kommt, nutzt er zwei verschiedene Methoden, um den richtigen Schlüssel zu finden:
- Er nimmt mit der rechten Hand wahllos einen der 10 Schlüssel aus seiner Hosentasche und probiert ihn aus. Wenn der Schlüssel nicht passt, nimmt er ihn in die linke Hand und holt einen der verbliebenen 9 Schlüssel aus seiner Hosentasche. Er macht das so lange, bis er den richtigen Schlüssel gefunden hat. Anschließend steckt er wieder alle Schlüssel zurück in seine rechte Hosentasche.
- Er nimmt mit der rechten Hand wahllos einen der 10 Schlüssel aus seiner Hosentasche und probiert ihn aus. Wenn der Schlüssel nicht passt, steckt er ihn zurück in seine rechte Hosentasche mit den verbliebenen Schlüsseln. Dann nimmt er wieder zufällig einen der 10 Schlüssel aus dieser Hosentasche. Er macht das so lange, bis er den richtigen Schlüssel gefunden hat.
Walter benutzt Methode 1, wenn er nüchtern ist und Methode 2, wenn er betrunken ist. Er ist im Schnitt jeden vierten Tag betrunken.
Eines Abends bemerkt Walters Chefin, dass er es nach 7 Versuchen noch immer nicht geschafft hat, eine Tür aufzuschließen. Sie feuert ihn wegen Trunkenheit im Dienst.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit (in %) hat sie das zurecht gemacht?
Hier der Lösungsweg mit Teilschritten
Aus der Aufgabenstellung wissen wir bereits: Die Wahrscheinlichkeit, dass Walter betrunken ist, liegt bei \(p(B)=\frac{1}{4}\), d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass er nüchtern ist bei \(p(\bar B)=\frac{3}{4}\).
Die Wahrscheinlichkeit, dass er nüchtern von seiner Chefin erwischt wird mehr als 7 Versuche zu brauchen, lässt sich berechnen durch:
\(p(C\vert\bar B)= \frac{9}{10}\cdot\frac{8}{9}\cdot \frac{7}{8}\cdot\frac{6}{7} \cdot \frac{5}{6}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{10}\).
Die Wahrscheinlichkeit, dass er betrunken von seiner Chefin erwischt wird mehr als 7 Versuche zu brauchen, lässt sich berechnen durch:
\(p(C\vert B)=\frac{9}{10}\cdot\frac{9}{10}\cdot \frac{9}{10}\cdot\frac{9}{10}\cdot\frac{9}{10}\cdot\frac{9}{10}\cdot\frac{9}{10} =\frac{9^7}{10^7}\).
Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass er generell mehr als 7 Versuche braucht (totale Wahrscheinlichkeit) gegeben als:
\(p(C)=p(\bar{B})\cdot p(C\vert \bar{B})+p(B) \cdot p(C \vert B)=\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{10}+\frac{1}{4}\cdot \frac{9^7}{10^7}\approx 34,46\%\).
Mit dem Satz von Bayes ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass Walter zurecht gefeuert wurde zu
\($p(B\vert C)=\frac{p(C\vert B)\cdot p(B)}{p(C)}=\frac{\frac{9^7}{10^7}\cdot\frac{1}{4}}{34,46\%}\approx 34,70\ %$\).
Aus Fairness hätte die Chefin Walter noch ein paar Versuche zugestehen sollen.