In dem nebenstehenden Diagramm (Abb. 1) sind die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilungen der Geschwindigkeiten von normalen Pedelecs abgebildet und von solchen, die illegal getunt wurden. Beide Verteilungen sind als eine Normal(Gauss)-Verteilung mit unterschiedlichen Mittelwerten und Varianzen gegeben.

Welche Kurve zeigt die Geschwindigkeitsverteilung für ein normales Pedelec und welche die für ein getuntes?

Bei einer Radarkontrolle wird ein Pedelec mit einer Geschwindigkeit von mehr als 40 km/h geblitzt. Mit Hilfe der Verteilungen soll nun herausgefunden werden, ob es getunt war oder nicht (vgl. Abb. 1).

Dabei nehmen wir als Nullhypothese \(\mathrm{H_0}\) an, dass das Pedelec ungetunt ist. Die Alternativhypothese \(\mathrm{H_1}\) ist, dass es getunt ist.

In einer solchen Klassifizierung können Fehler vorkommen:

• Als „false positive” (Fehler 1. Art) bezeichnet man Fälle, in denen die Nullhypothese zurückgewiesen wird, obwohl sie in Wirklichkeit wahr ist.
• Als „false negative” (Fehler 2. Art) bezeichnet man Fälle, in denen die Nullhypothese fälschlicherweise bestätigt wird, obwohl die Alternativhypothese korrekt ist.

Abb. 2 zeigt nun die kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung. Aus ihr kann man ablesen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein ungetuntes/getuntes Pedelec langsamer als eine bestimmte Geschwindigkeit fährt.

Im Folgenden verwenden wir die Symbole \(S\) für „Schneller als 40 km/h” und \(T\) für „getunt”.

Aus der kumulierten Wahrscheinlichkeitsverteilung kann man die Wahrscheinlichkeit, dass ein ungetuntes Pedelec langsamer als 40 km/h fährt, ablesen:

\(p(\bar S \vert \bar T)=99.79\%\)

Genauso kann man die Wahrscheinlichkeit, dass ein getuntes Pedelec langsamer als 40 km/h fährt, ablesen:

\(p(\bar{S}\vert T)=74.75\% \)

Beantworten Sie mit diesen Informationen die folgende Frage:

Wenn 1 % aller Pedelecs getuned sind, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in %), dass ein Pedelec, das mit mehr als 40 km/h geblitzt worden ist, getunt ist?