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Höhere Mathematik – Grundlagen der Höheren Mathematik

Das Quellen- und Literaturverzeichnis zu dieser Seite finden Sie hier.

Aufgabe 1 von 4

MATHEMATISCHE BEWEISTECHNIK

Ein fundamentaler Bestandteil der Mathematik ist logisches Schlussfolgern. In einer Vorlesung zur Mathematik an einer Universität werden i.d.R. alle getroffenen Aussagen durch eine präzise Argumentation bewiesen. Die folgende Aufgabe soll eine solche strenge Beweisführung veranschaulichen. Dazu sehen wir uns zunächst die folgende Definition an.

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als ein Bruch \(\frac{p}{q}\) dargestellt werden kann, wobei \(p\) aus den ganzen Zahlen (… -2, -1, 0, 1, 2, …) und \(q\) aus den natürlichen Zahlen (1, 2, 3, …) stammt. Außerdem sind \(p\) und \(q\) teilerfremd, das heißt, der Bruch kann nicht weiter gekürzt werden.

Es gilt nun zu zeigen, dass die Quadratwurzel aus 2 keine solche rationale Zahl ist. Dies geschieht über einen sogenannten Widerspruchsbeweis. Das heißt, es wird gezeigt, dass die Annahme, die Wurzel aus 2 sei eine rationale Zahl, zu einem Widerspruch führt.

Im Folgenden sehen Sie die Teilschritte des Beweises. Ziehen Sie die Elemente in die richtige Reihenfolge, so dass jeder Schritt von einem Element zum nächsten eine logische Schlussfolgerung ergibt.

Wichtig: Ein Widerspruchsbeweis beginnt mit der Annahme des Gegenteils (also, dass \(\sqrt2\) eine rationale Zahl ist).

  • Wir nehmen also an, dass die Quadratwurzel aus \(2\) rational ist und sich somit als ein Bruch \(\frac{p}{q}\) darstellen lässt, wobei \(p\) und \(q\) teilerfremd sind, so dass der Bruch sich nicht weiter kürzen lässt. Das heißt es gilt \(\sqrt2=\ \frac{p}{q}\).

  • Das bedeutet, dass das Quadrat des Bruchs \(\frac{p}{q}\) gleich \(2\) ist: \(\left(\frac{p}{q}\right)^2=2\), oder umgeformt: \(p^2=2q^2\).

  • Da \(2q^2\) eine gerade Zahl ist, ist aufgrund obiger Gleichung auch \(p^2\) eine gerade Zahl. Da das Quadrat einer ungeraden Zahl stets ungerade ist, muss schließlich auch \(p\) gerade sein.

  • Eine ganze oder natürliche Zahl \(n\) ist genau dann gerade, wenn sie als \(n=2m\) geschrieben werden kann, mit einer anderen entsprechend ganzen oder natürlichen Zahl \(m\).

  • Die Zahl \(p\) lässt sich also mit einer anderen ganzen Zahl \(r\) darstellen als \(p=2r\). Dann erhält man mit der vorherigen Gleichung: \(2q^2=p^2=\left(2r\right)^2=4r^2\)und nach Division durch 2 ergibt sich \(q^2=2r^2\).

  • Genau wie zuvor folgt nun, dass \(q^2\) und somit auch \(q\) eine gerade Zahl ist. Wenn aber sowohl \(p\) als auch \(q\) gerade sind, sind die Zahlen nicht teilerfremd, d.h. der Bruch \(\frac{p}{q}\) lässt sich kürzen. Das ist ein Widerspruch, denn wir haben die Teilerfremdheit angenommen!

  • Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme, die Wurzel aus \(2\) sei eine rationale Zahl, falsch ist und daher das Gegenteil gelten muss. Damit ist die Behauptung bewiesen.

In diesem Widerspruchsbeweis wird die abstrakte Vorgehensweise in der Mathematik deutlich. Natürlich gibt es noch weitere Beweistechniken, mit denen Sie sich während des Studiums in Computational Science and Engineering befassen.

Tipp: An manchen Schulen werden in der Oberstufe Vertiefungskurse in Mathematik angeboten. Dort wird oft auch das Beweisen von mathematischen Aussagen thematisiert und geübt. Belegen Sie diesen Kurs während Ihrer Schulzeit.

Gerne können Sie über die Fachschaft CSE Kontakt zu Studierenden des Studienganges Computational Science and Engineering aufnehmen.