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Mathematik – Beispielaufgaben

Das Quellen- und Literaturverzeichnis zu dieser Seite finden Sie hier.

Aufgabe 1 von 7

EIGENSCHAFTEN WICHTIGER FUNKTIONEN

  1. Benutzen Sie die Rechenregeln für die Exponentialfunktion (\(e^{p+q} = e^pe^q, (e^p)^q = e^{qp}\)), um die folgenden Eigenschaften der Logarithmusfunktion herzuleiten:
    Für \(a,b \in \mathbb{R}\) mit \(a,b > 0\) gilt:

    a. \(\log(a\cdot b) = \log(a) + \log (b)\)
    b. \(\log(a^b) = b \cdot\log(a).\)
     
  2. Es seien die Hyperbelfunktionen \(sinus \ hyperbolicus\) und \(cosinus \ hyperbolicus\) definiert durch \( \sinh(x) = \frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\) und \(\cosh(x) = \frac{1}{2}(e^x+e^{-x}).\) Zeigen Sie, dass für alle \( x\in \mathbb{R} \ \cosh^2(x)-\sinh^2(x) = 1.\)

Setzen Sie \(a = e^p, b = e^q\) . Dann gilt, dass \(\log(a\cdot b) = \log(e^p \cdot e^q) = \log(e^{p+q}) = p + q = \log(e^p) + \log(e^q) = \log(a) + \log(b) \).

Setzen Sie wieder \(a = e^p\). Dann gilt, dass \(\log(a^b) = \log((e^p)^b) = \log(e^{p\cdot b}) = p\cdot b = log(e^p) \cdot b = b \cdot \log(a) \).

\(\cosh(x)^2 -\sinh(x)^2 = (\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}))^2- (\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}))^2 = \frac{1}{4}(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - \frac{1}{4}(e^{2x} - 2 + e^{-2x}) = 1 \)

Im ersten Schritt wurde die Definition eingesetzt, im zweiten mit der binomischen Formel ausmultipliziert sowie die Rechengesetze der e-Funktion verwendet. Im letzten Schritt wurde gekürzt und zusammengerechnet.