Die Boolsche Algebra definiert folgende Operationen über logische Aussagen:
Negation (¬)
Konjunktion (∧)
Disjunktion (∨)
Mit der Wahrheitstabelle kann der Wahrheitswert der Gesamtaussage für alle möglichen Zuordnungen bestimmt werden.
Seien P und Q Aussagen (bzw. Mengen), die eine wahre (1) oder eine falsche (0) Aussage beinhalten.
P
Q
P∧Q
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
P
Q
P∨Q
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
P
¬P
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Vervollständigen Sie die folgenden Wahrheitstabellen.
P
Q
P∨¬Q
0
0
0
1
1
0
1
1
P
Q
(P∨Q)∧Q
0
0
0
1
1
0
1
1
Erklärung zur Lösung der gesamten Aufgabe
Diese Aufgabe kann gut gelöst werden, indem man zunächst die Teilausdrücke auswertet, bei der linken Teilaufgabe also ¬Q, bei der rechten Teilaufgabe P∨Q. Das Ergebnis kann dann in der angegebenen Wertetabelle nachgeschlagen werden.
Aufgabe 2 von 3
Die Funktion \(f:X\ \rightarrow Y\) heißt
injektiv, falls für \(x_1, x_2\in X\) die Implikation gilt: \(f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2\)
surjektiv, falls \(f(X)=Y\), d.h. für alle \(y \in Y\) exisitert mindestens ein \(x \in X\) mit \(f(x)=y\)
bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.
Dann heißt \(f^{-1}:Y\ \rightarrow X\) die Umkehrfunktion von \(f\), falls gilt \(f^{-1}\left(y\right)=x\) für \(y \in Y\), wobei \(x \in X\) die eindeutige Lösung der Gleichung \(f(x)=y\) ist.
Beispiel:
Es sei gegeben \(X=\{a,b,c\}\), \(Y=\{1,2,3\}\) und eine Zuordnungsvorschrift für die Funktion \(f:f\left(a\right)=2,\ f\left(b\right)=1\) und \( f\left(c\right)=3\). Dann ist \(f\) bijektiv.
Bestimmen Sie die Eigenschaften der Funktion \(f:X\ \rightarrow Y\) mit dem Definitionsbereich \(X=\{1,2\}\), dem Bildbereich \(Y=\{a,b,c\}\) und der Vorschrift \(f(1)=a\) und \(f(2)=c\).
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injektiv
Dies folgt direkt aus der Definition der Vorschrift.
surjektiv
Es gibt kein \(x \in X\) mit \(f(x)=b\).
bijektiv
\(F\) ist nicht surjektiv und damit auch nicht bijektiv.
Aufgabe 3 von 3
Wählen Sie alle Vorschriften für die Funktion \(f:X\ \rightarrow Y\) aus, sodass \(f\) surjektiv, aber nicht injektiv ist. Gegeben ist der Definitionsbereich \(X=\{1,2,3\}\) und der Bildbereich \(Y=\{a,b\}\).
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\(f(1) = a, f(2) = a, f(3) = a\)
\(f(1) = a, f(2) = a, f(3) = b\)
\(f(1) = a, f(2) = b, f(3) = a\)
\(f(1) = a, f(2) = b, f(3) = b\)
\(f(1) = b, f(2) = a, f(3) = a\)
\(f(1) = b, f(2) = a, f(3) = b\)
\(f(1) = b, f(2) = b, f(3) = a\)
\(f(1) = b, f(2) = b, f(3) = b\)
Die Funktion ist surjektiv, wenn sowohl \(a\) als auch \(b\) als Funktionswert vorkommen.
Da der Bildbereich kleiner ist als der Definitionsbereich, ist keine der angegebenen Funktionen injektiv. Überlegen Sie selbst, warum das so ist!
