Mathematik
– Textaufgaben
Das Quellen- und Literaturverzeichnis zu dieser Seite finden Sie hier.
Aufgabe 1 von 2
Ein Mann möchte die Anzahl der Stufen einer laufenden Rolltreppe zählen. Geht er die Rolltreppe entgegen der Fahrtrichtung hoch, so zählt er 90 Stufen. Geht er die Treppe im gleichen Tempo hinab, so zählt er noch 60 Stufen.[1]
Wie viele Stufen müßte er steigen, wenn die Rolltreppe stillstehen würde?
Betrachten wir zunächst die Geschwindigkeit v (gemessen zum Beispiel in Stufen pro Sekunde), die sich der Mann bei stillstehender Rolltreppe bewegen würde, sowie die Geschwindigkeit w, mit der sich die Rolltreppe bewegt.
Da sich der Mann immer im gleichen Tempo bewegt, können wir seine Schritte als Zeiteinheit wählen. Bei Geschwindigkeit v+w (also in Fahrtrichtung der Rolltreppe) benötigt der Mann 60 Zeiteinheiten bzw. Schritte, bei Geschwindigkeit v-w (also entgegen der Fahrtrichtung der Rolltreppe) benötigt der Mann 90 Zeiteinheiten bzw. Schritte. Gesucht ist die Anzahl Schritte t, die der Mann bei stillstehender Rolltreppe, also bei Geschwindigkeit v zurücklegt. Wir benutzen die Formel „Weg = Zeit mal Geschwindigkeit“ bzw. „Zeit = Weg geteilt durch Geschwindigkeit“ und erhalten die drei Gleichungen
60 = s / (v+w)
90 = s / (v-w)
t = s / v
Auflösen des Gleichungsystems nach t ergeibt dann die gesuchten 72 Schritte.
Hinweis: 72 ist das harmonische Mittel aus 60 und 90. Das harmonische Mittel kann verwendet werden, um bestimmte Durchschnittsgeschwindigkeiten zu berechnen.