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Schwerpunktbildung – Zahlentheorie

Abb. 1: Andrew Wiles
Foto: copyright C. J. Mozzochi, Princeton N.J / modifiziert durch Schriftzug von J. Zintl /
Quelle: Wikimedia Commons

Die oftmals verblüffenden versteckten Eigenschaften von ganzen Zahlen haben nicht nur Mathematiker seit jeher fasziniert. Obwohl die Fragestellungen häufig leicht zu formulieren sind, können die Lösungen durchaus herausfordernd sein. Ein gutes Beispiel liefert die berühmte Vermutung von Pierre de Fermat (1607?-1665). Mehr als 350 Jahre lang haben sich Mathematiker mit immer neuen Ansätzen der Lösung des Problems angenähert, ehe es 1994 mit einer entscheidenden neuen Idee von Andrew Wiles vollständig gelöst werden konnte. Trotz (und wegen!) ihrer Komplexität ist die Zahlentheorie die unverzichtbare Grundlage moderner Kryptographie.


Das Quellen- und Literaturverzeichnis zu dieser Seite finden Sie hier.

Aufgabe 1 von 1

Gegeben sei eine Primzahl \(p ≥ 5\).  Begründen Sie, warum die Zahl \(p^2-1\) immer durch \(24\) teilbar ist.

Für das Verständnis einer Aufgabe ist es oft hilfreich, sich zunächst anhand einiger Beispiele das Problem klar zu machen. Für die ersten Primzahlen findet man

\(p = 5 : 5^2 − 1 = 24 \)              mit \(24 \div 24 = 1\)

\(p = 7:7^2 − 1 = 48 \)              mit \(48\div24 = 2\)

\(p = 11:112 − 1 = 120\)          mit \(120\div24 = 5\)

 

Selbstverständlich ist es nicht möglich, die Behauptung für unendlich viele Primzahlen durch Nachrechnen zu überprüfen.

Gesucht wird eine Argumentation, die logisch schlüssig begründet, warum die Aussage tatsächlich für alle Primzahlen \(p ≥ 5\) gilt.

Hierfür wählen wir einen Lösungsweg mit mehreren Teilschritten.

Schreiben Sie \(p^2 − 1\) mit Hilfe der binomischen Formel als \((p − 1) · (p + 1)\).

Können Sie zeigen, dass \((p − 1) · (p + 1)\) durch \(4\) teilbar ist? Ist es auch durch \(8\) teilbar?

Es gilt \(p^2 − 1 = (p − 1) · (p + 1)\). Weil \(p ≥ 5\) eine Primzahl ist, ist es eine ungerade Zahl. Deshalb sind sowohl \(p − 1\) als auch \(p + 1\) gerade Zahlen. Zeigen Sie nun, dass \((p − 1) · (p + 1)\) durch \(8\) teilbar ist.

Wir wissen bereits, dass \(p − 1\) und \(p + 1\) beide gerade Zahlen sind, das heißt, sie sind teilbar durch \(2\). Weil sie aufeinanderfolgende gerade Zahlen sind, muss eine von ihnen sogar durch \(4\) teilbar sein, während die andere nur durch \(2\) teilbar ist.

Bekanntlich bleibt für jede Zahl, wenn man sie durch \(4\) teilt, als Rest entweder \(0, 1, 2\) oder \(3\). Gerade Zahlen haben den Rest \(2\) oder \(4\). Das bedeutet, die gerade Zahl \(p − 1\) ist entweder von der Form \(p − 1 = 4k\) oder von der Form \(p − 1 = 4k + 2\), wobei \(k\) für eine positive ganze Zahl steht. Im ersten Fall berechnet man damit \((p − 1) · (p + 1) = 4k (4k + 2) = 8k (2k + 1)\), und im zweiten Fall \((p − 1) · (p + 1) = (4k + 2) · (4k + 4) = 8(2k + 1) · (k + 1)\).

In jedem Fall ist \({(p − 1) · (p + 1)}\) teilbar durch \(8\).

Können Sie zeigen, dass \((p − 1) · (p + 1)\) durch \(3\) teilbar ist?

Um zu zeigen, dass \((p − 1) · (p + 1)\) durch \(3\) teilbar ist, hilft es, die drei Zahlen \(p − 1,\ p, \ p + 1\) zu betrachten.

Bei drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist immer eine dabei, die durch \(3\) teilbar ist. Weil \(p\) eine Primzahl ist, ist \(p\) nur durch \(1\) und sich selbst teilbar. Weil \(p ≥ 5\) ist, ist also \(p\) insbesondere nicht durch \(3\) teilbar. Das bedeutet, dass entweder \(p − 1\) oder \(p + 1\) durch \(3\) teilbar sein muss.

Damit ist das Produkt \((p − 1) · (p + 1)\) durch \(3\) teilbar.

Aus den Teilschritten \(1\) und \(2\) folgt, dass \(p^2 − 1 = (p − 1) · (p + 1)\) immer sowohl durch \(8\) als auch durch \(3\) teilbar ist. Also ist \(p^2-1\) durch \(8 · 3 = 24\) teilbar.