Überlegen Sie sich, wie Sie die Wörter in eine ‚Standardform‘ bringen können.

Es gibt höchstens 10 verschiedene Wörter.

Jedes Wort lässt sich durch wiederholtes Anwenden der Ersetzungsregeln (3), (4) und (5) in die Standardform \(es^ar^b\) bringen, für ganze Zahlen \(a ≥ 0\) und \(b ≥ 0\). Aufgrund der Kürzungsregeln (1) und (2) kommt man mit den Potenzen \(a = 0, 1\) und \(b = 0, 1, 2, 3, 4\) aus. Damit enthält die folgende Liste alle Wörter, die möglich sind:

\(e, r, r^2, r^3, r^4, s, sr, sr^2,sr^3,sr^4 \).

Versuchen Sie, die (falsche!) Gleichung \(r=sr^3\) durch Erweitern und Umformen zu einem logischen Widerspruch zu führen.

Nehmen wir an, \(r\) und \(sr^3\) wären gleich. Durch Erweitern folgt aus \(r=sr^3\) die Gleichung \(rr^2 = sr^3r^2\), oder kürzer \(r^3=sr^5=s\) mit den Regeln (1) und (4). Durch Quadrieren ergibt sich daraus \((r^3)^2= s^2=e\) wegen Regel (2). Andererseits gilt aber aufgrund der Potenzgesetze und den Kürzungsregeln (1) und (5) auch \((r^3)^2 = r^6 = rr^5=re=r\). Durch Vergleich erhält man also \(r = e\).  Das ist aber ein logischer Widerspruch, da wir mit verschiedenen Elementen \(r\) und \(e\) gestartet sind. Deshalb können \(r\) und \(sr^3\) nicht gleich sein.

Mit einer sorgfältigen Einzelanalyse kann man sich nun überlegen, dass keine zwei Wörter auf unserer obigen Liste gleich sind. Es gibt also tatsächlich genau 10 verschiedene Wörter.

Eine elegantere (und sehr viel kürzere!) Methode zur Bestimmung der Anzahl der Wörter benutzt die Gruppentheorie, die man im ersten Studienjahr kennen lernt. Im Wesentlichen folgt aus den Kürzungsregeln \(r^5=e\) und \(s^2=e\), dass die Primzahlen 5 und 2 beide die gesamte Anzahl der Wörter teilen. Zusammen mit der Information aus Frage A1, dass diese Anzahl höchstens 10 ist, folgt dass sie genau 10 sein muss.

Wegen den ersten beiden Aufgaben genügt es, Wörter in einer Standardform \(es^ar^b\) zu betrachten.

Sei \(w\) das Wort \(w = es^a r^b\), mit  \(0 \le a \le 1\) und \(0\le b \le 4\).

Damit gilt auch \(2-a \ge 0\) und \(5-b \ge 0\).

Also ist \(z = r^{5-b} s^{2-a}\) ein Wort.

Für die Verkettung gilt \(wz = es^a r^b r^{5-b} s^{2-a} = e s^a r^5 s^{2-a} \stackrel{(1)}{=} e s^a e s^{2-a} \stackrel{(5)}{=} e s^2 \stackrel{(2)}{=} e^2 \stackrel{(5)}{=} e.\)

Überlegen Sie sich die Antwort für verschiedene ‚Typen‘ von Standardformen getrennt.

Für das Wort \(e\) folgt die Behauptung sofort aus neunmaligem Anwenden von (5). Für das Wort \(s\) findet man \(s^{10} = s^2s^2s^2s^2s^2= eeeee=e\). Für ein Wort der Form \(r^b\) mit \(1\le b \le 4\) gilt (erinnern Sie sich an die Potenzgesetze?)

\((r^b)^{10 }= r^{10b} = (r^5)^{2b} \stackrel{(1)}{=} e^{2b} = e\)

Es bleibt schließlich noch der ‚gemischte‘ Worttyp \(w=sr^b\) mit \(1 ≤ b ≤ 4\). Mit der Vertauschungsregel (3) berechnet man zunächst

\(sr^b = r^4sr^{b-1} = \ldots = r^{4b} s\)

und damit

\((sr^b)^{10} = ((sr^b)^2)^5 = (sr^b\, sr^b)^5 = (r^{4b} s \, sr^b)^{5} \stackrel{(2),(5)}{=} (r^{5b})^5 = (r^5)^{5b} \stackrel{(1)}{=} e^{5b} = e . \)

Diese Aufgabe hat einen geometrischen Hintergrund. Tatsächlich steht das, was wir Wörter genannt haben, für die Symmetrien eines regelmäßigen Fünfecks: Das Symbol \(s\) steht für die Spiegelung an der vertikalen Achse, und \(r\) für die Rotation um ein Fünftel von 360 Grad, d.h. eine Drehung um 72 Grad gegen den Uhrzeigersinn, die das Fünfeck wieder deckungsgleich auf sich selbst abbildet. Nach fünf Drehungen befindet sich das Fünfeck wieder in seinem Ursprungszustand. Mathematisch wird das formuliert als \(r^5 = e\), wobei \(e\) die ‚triviale Transformation‘ repräsentiert, die das Fünfeck nicht verändert. Ebenso erhält man nach zwei Spiegelungen das Fünfeck unverändert zurück, beziehungsweise gilt \(s^2 = e\).

Aus den beiden Grundbewegungen s und r lässt sich die gesamte Symmetriegruppe des regulären Fünfecks konstruieren. Damit lässt sich nun auch die Gleichung \(r^4s = sr \) in Regel (3) geometrisch verstehen: Die Wirkung von 4 Rotationen und anschließend einer Spiegelung ist dieselbe wie die Wirkung von zuerst einer Spiegelung und dann einer Rotation.

Die Untersuchung von Symmetrien und Symmetriegruppen spielt nicht nur in der Mathematik, sondern vor allem auch in der Physik eine große Rolle.