BW² - Beispielaufgaben aus dem Studium

Sensorik – Beschleunigung

Dieses Aufgabengebiet wurde erstellt von Harald Sehr.

Abb. 1
Quelle: Foto von Pineapple_fez / CC BY-SA 3.0 / keine Veränderung

Haben Sie sich schon einmal gefragt, wie ein Smartphone zwischen Hoch- und Querformat unterscheidet? Oder wie ein Auto erkennt, ob der Airbag ausgelöst werden muss? In beiden Anwendung sind Beschleunigungssensoren im Spiel. Im Handy erkennt ein Beschleunigungssensor die Richtung der Erdbeschleunigung. Entsprechend wird die Anzeige auf Hoch- oder Querformat eingestellt. Im Auto misst ein Beschleunigungssensor die starke Verzögerung, die bei einem Frontalaufprall auftritt, und gibt die Information an ein Steuergerät weiter. Beschleunigungssensoren sind mikromechanische Bauteile, die Knowhow aus der Physik, der Elektrotechnik und der Mikrosystemtechnik vereinigen. Wie diese faszinierenden Sensorsysteme funktionieren, damit wollen wir uns genauer befassen.

Prinzip Beschleunigungssensor: Feder-Masse System Eine Masse \(m\) ist mit Federn in einem Rahmen aufgehängt. In der Ruheposition befindet sich die Masse in der Mitte.	Abb. 2 Grafik: Harald Sehr, Hochschule Karlsruhe
Wird der Rahmen nach rechts beschleunigt \(\vec{a}\), lenkt die Trägheitskraft \(\vec{F_T}=-m\cdot\vec{a}\) die Masse nach links aus. Die Federkraft \(\vec{F_F}=-c\cdot\vec{x}\) steht im Gleichgewicht mit \(\vec{F_T}\) . Die Auslenkung \(\vec{x}\) der Masse ist ein Maß für die Beschleunigung.	Abb. 3 Grafik: Harald Sehr, Hochschule Karlsruhe
Wie wird die Auslenkung gemessen? → mit Hilfe eines Plattenkondensators Ein Plattenkondensator besteht aus 2 parallelen, leitfähigen Platten. Seine Kapazität \(C\) lässt sich wie folgt berechnen: \(C=\frac{\varepsilon_r\cdot\varepsilon_0\cdot A}{d}\) \(\varepsilon_0\) elektrische Feldkonstante \(\varepsilon_0=\ 8,85\cdot{10}^{-12} \mathrm{As/Vm}\) \(\varepsilon_r\) relative Dielektrizitätszahl \(A\) Plattenfläche \(d\) Plattenabstand Die Einheit der Kapazität ist \(\mathrm{1\frac{As}{V}=1F}\) (Farad).	Abb. 4 Grafik: Harald Sehr, Hochschule Karlsruhe
Zur Messung der Auslenkung wird ein Differentialkondensator verwendet. Ein Differentialkondensator besteht aus 2 Plattenkondensatoren mit gemeinsamer Mittenelektrode. Die Mittenelektrode ist beweglich und ist mit der Masse \(m\) verbunden. Wird der Rahmen nach rechts beschleunigt, so verschiebt sich die Mittenelektrode nach links, der Wert von \(C_1\) steigt während der Wert von on \(C_2\) sinkt . Die Kapazitätsänderung ist ein Maß für die Auslenkung und damit ein Maß für die Beschleunigung. In der mikromechanischen Ausführung verwendet man Kammkondensatoren. Diese bestehen aus vielen Mittenelektroden und vielen festen Gegenelektroden. Es sind also viele Plattenkondensatoren parallel geschaltet. So kann trotz kleiner Baugröße eine möglichst große Kapazität erreicht werden.	Abb. 5 Grafik: Harald Sehr, Hochschule Karlsruhe
Mikromechanischer Beschleunigungssensor Beschleunigungssensoren werden mit mikromechanischen Prozessen aus Silizium hergestellt. Rechts ist eine Rasterelektronenmikroskop-Aufnahme eines Beschleunigungssensors im Vergleich zu einem Haar gezeigt. Die Siliziumbalken der Elektroden und der Federn sind \(\mathrm{2\ \mu m}\) dick und \(\mathrm{20\ \mu m}\) hoch. Das Haar ist \(\mathrm{90\ \mu m}\) dick. Ein\(\mathrm{\ \mu m}\) ist ein millionstel Meter!	Abb. 6 Copyright: Bosch

Das Quellen- und Literaturverzeichnis zu dieser Seite finden Sie hier.

Aufgabe 1 von 7

ALLGEMEINE BERECHNUNGEN ZUM BESCHLEUNIGUNGSSENSOR: BERECHNUNG DER KAPAZITÄTEN DER ELEKTRODEN

Abb. 7
Grafik: Harald Sehr, Hochschule Karlsruhe

Abb. 7 zeigt einen Beschleunigungssensor mit Differentialkondensator. Die bewegliche Mittenelektrode (beige) ist mit der seismischen Masse verbunden. Die festen Gegenelektroden sind blau und grün dargestellt. Um die Übersichtlichkeit zu bewahren, wurde ein einfacher Differentialkondensator dargestellt, kein Kammkondensator.

Der Beschleunigungssensor wird in negative x-Richtung beschleunigt (Beschleunigung \(\vec{a}\) )

Wie ändern sich die Kapazitäten \(C_1\) (Mittenelektrode und blaue Elektrode) und \(C_2\) (Mittenelektrode und grüne Elektrode)?

kleiner

größer

bleibt gleich

wird größer

wird kleiner

kleiner

größer

kleiner

Bitte treffen Sie eine entsprechende Auswahl im Text.

Die Trägheitskraft wirkt der Beschleunigung \(\vec{a}\) entgegen. Dadurch wird der Plattenabstand des Kondensators \(C_1\) . Der Kondensator \(C_1\)selbst . Beim Kondensator \(C_2\) wird der Plattenabstand . Somit wird der Kondensator \(C_2\) selbst .

Aufgabe 2 von 7

ALLGEMEINE BERECHNUNGEN ZUM BESCHLEUNIGUNGSSENSOR: DIE FEDERKONSTANTE

Der Beschleunigungssensor (Abb. 7) soll nun so angepasst werden, dass er für größere Beschleunigungen eingesetzt werden kann. Es soll also ein größerer Messbereich eingestellt werden. Wie muss die Federkonstante geändert werden, wenn die seismische Masse des Sensors gleich bleibt?

gleich bleibende Federkonstante

größere Federkonstante

kleinere Federkonstante

gleich bleibende Federkonstante

größere Federkonstante

kleinere Federkonstante

steiferen

weicheren

Bitte treffen Sie eine entsprechende Auswahl im Text.

Wenn der Messbereich vergrößert wird, soll es bei einer größeren Beschleunigung zur gleichen Auslenkung und damit zur gleichen Kapazitätsänderung kommen wie vorher. Deshalb ist eine nötig. Eine entspricht einer Feder.

Aufgabe 3 von 7

DIMENSIONIERUNG EINES BESCHLEUNIGUNGSSENSORS: BERECHNUNG DER SEISMISCHEN MASSE

Die Aufgaben zur Dimensionierung sind anspruchsvoll und könnten in ähnlicher Form in einer Klausur an der Hochschule vorkommen. Sie erfordern Rechenfertigkeiten mit physikalischen Einheiten und Zehnerpotenzen.

Ein kapazitiver Beschleunigungssensor, der mikromechanisch gefertigt wird, soll dimensioniert werden. Dazu werden zunächst die seismische Masse und die Kapazität des Kammkondensators berechnet. Anschließend berechnen wir die Federkonstante, die für den gewünschten Beschleunigungs-Messbereich notwendig ist. Weil der Beschleunigungssensor ein mikromechanisches System ist, haben wir es mit sehr kleinen Werten für die Masse, die Kapazität und die Federkonstante zu tun.

Der Kammkondensator besteht in der Zeichnung (Abb. 8) aus 2 Mittenelektroden und jeweils 2 festen Gegenelektroden (2 Elektrodenpaare).

Abb. 8
Grafik: Harald Sehr, Hochschule Karlsruhe

Die seismische Masse eines Silizium-Beschleunigungssensors hat folgende Abmessungen:

Breite \({b_m=200\ \mu \mathrm{m}}\) *

Länge \({l_m=200\ \mathrm{\mu m}}\)

Höhe \({h_m=\mathrm{25\ \mu m}}\)

Die Dichte von Silizium beträgt

\(\rho_{Si}=2,336\cdot\ \mathrm{{10}^3\frac{kg}{m^3}}\)

* \(\mathrm{1\ \mu m=1\cdot{10}^{-6}m=0,000001\ m}\)

Abb. 9
Grafik: Harald Sehr, Hochschule Karlsruhe

Berechnen Sie die seismische Masse \(m\) (Sie benötigen dazu die beiden unten stehenden Formeln).

Man erhält das Volumen \(V_m\) der seismischen Masse, indem man die Länge \(l_m\), die Breite \(b_m\) und die Höhe \(h_m\) miteinander multipliziert:

\(V_m=l_m\cdot b_m\cdot h_m\)

Um die Masse \(m\) zu erhalten, multiplizieren wir das Volumen \(V_m\) mit der Dichte \(\rho_{Si}:\)

\(m=V_m\cdot \rho_{Si}\)

Wählen Sie nun die richtige Antwort aus.

Bitte auswählen

\(m=\ 2,336\cdot{10}^{-9}\mathrm{kg}\)

\(V_m=l_m\cdot b_m\cdot h_m = \mathrm{200 \cdot{10}^{-6}m\cdot200\cdot {10}^{-6}m\cdot25\cdot{10}^{-6}m =1\cdot{10}^{-12}m^3} \)

\(m=V_{m}{\rho}_{Si} = \mathrm{1\cdot{10}^{-12}m^3\cdot 2,336\cdot{10}^3\frac{kg}{m^3} =2,336\cdot{10}^{-9}kg} \)

\(m=\ 2,336\cdot{10}^{-12}\mathrm{kg}\)

Die Antwort ist leider falsch. Schauen Sie, ob Sie sich bei den Zehnerpotenzen verrechnet haben.

\(m=2,336\ \mathrm{kg}\)

Die Antwort ist leider falsch. Die Masse wäre viel zu schwer.

\(m=\ 2,336\cdot{10}^{12}\mathrm{kg}\)

Die Antwort ist leider falsch. Schauen Sie sich nochmal die Zehnerpotenzen an.

Aufgabe 4 von 7

DIMENSIONIERUNG EINES BESCHLEUNIGUNGSSENSORS: BERECHNUNG DER GESAMTKAPAZITÄT

Abb. 10
Grafik: Harald Sehr, Hochschule Karlsruhe

In der folgenden Aufgabe soll der Kapazitätswert für 100 Elektrodenpaare berechnet werden. Zur kapazitiven Auswertung soll ein Kammkondensator mit 100 Elektrodenpaaren mit folgenden Abmessungen verwendet werden:

Länge \(l_E=100 \mu \mathrm{m}\) *
Höhe \(h_E=25\mathrm{ \mu m}\)
Elektrodenabstand \(d_{E0}=10 \mu \mathrm{m}\)

\(\mathrm{1 \mu m=1\cdot{10}^{-6}m=0,000001 m}\)

Bedenken Sie außerdem, dass \(\varepsilon_0\) die elektrische Feldkonstante ist mit \(\mathrm{\varepsilon_0=8,85\cdot{10}^{-12} As/Vm}\) und dass sich zwischen den Elektroden Luft befindet und deshalb \(\varepsilon_r=1\) ist.

Berechnen Sie die Gesamtkapazität \(C\) des Kammkondensators im Ruhezustand des Beschleunigungssensors (Sie benötigen dazu die folgenden Formeln).

\(A= l_E\cdot h_E\) (Elektrodenfläche)

\(C_E=\frac{\varepsilon_r\cdot\varepsilon_0\cdot A}{d_{E0}}\) (Kapazität eines Elektrodenpaares)

Wählen Sie nun die richtige Antwort aus.

Bitte auswählen

\(C=\ 4,426\cdot{10}^{-13}\mathrm{F}\)

Leider falsch. Überprüfen Sie nochmal, ob Sie sich nicht verrechnet haben.

\(C=\ 2,213\cdot{10}^{-15}\mathrm{F} \)

Fast richtig. Aber bedenken Sie, dass 100 Elektrodenpaare berechnet werden sollten, die parallel geschaltet sind.

\(C=\ 2,213\cdot{10}^{13}\mathrm{F}\)

Leider nein. Bitte überprüfen Sie die Zehnerpotenzen.

\(C=\ 2,213\cdot{10}^{-13}\mathrm{F}\)

Richtig: Die Elektrodenfläche \(A\) einer Elektrode ergibt sich zu:

\(A=\ \mathrm{l_E\cdot h_E=100\cdot{10}^{-6}m\cdot25\cdot{10}^{-6}m=2,5\cdot{10}^{-9}m^2}\)

Die Kapazität \(C_E\) eines Elektrodenpaares erhalten wir aus (zwischen den Elektroden befindet sich Luft, deshalb beträgt):

\(C_E=\mathrm{\frac{\varepsilon_0A}{d_{E0}}=\frac{8,85\cdot{10}^{-12}{\frac{As}{Vm}\cdot}2,5\cdot{10}^{-9}m^2}{10\cdot{10}^{-6}m}=2,213\cdot{10}^{-15}{\frac{As}{V}}=2,213\cdot{10}^{-15}F}\)

Im Kammkondensator sind 100 Elektrodenpaare parallel geschalten, dadurch erhalten wir den 100fachen Wert für die Gesamtkapazität:

\(C=100\cdot C_E=\mathrm{100\cdot2,213\cdot{10}^{-15}F=2,213\cdot{10}^{-13}F}\)

Aufgabe 5 von 7

DIMENSIONIERUNG EINES BESCHLEUNIGUNGSSENSORS: BERECHNUNG DER FEDERKONSTANTEN

Bei einer Beschleunigung von \(a=5\ \mathrm{ {\frac{m}{s^2}}}\) soll sich der Wert des Kondensators um \(1\cdot{10}^{-14}\mathrm{F}\) erhöhen. Welche Federkonstante ist dazu erforderlich?

Berechnen Sie den neuen Kapazitätswert \(C_1\) mit der Formel \(C_1=C+∆C\).

\(C_1=C+∆C=2,213\mathrm{\cdot10^{-13}F+1\cdot10^{-14}F=2,313\cdot10^{-13}F}\)

Aufgabe 6 von 7

Mit der Formel für einen Plattenkondensator lässt sich \(C_1\) wie folgt schreiben:

\(C_1=100\cdot\frac{\varepsilon_0A}{d_1}\)

Stellen sie die Formel nun nach \(d_1\) (Plattenabstand) um und setzten Sie die Werte ein, um den Plattenabstand zu berechnen.

Welchen Wert erhalten Sie?

Bitte auswählen

\(9,565\cdot{10}^{-6}\mathrm{m}\)

Richtig.

\(d_1=100\cdot\frac{\varepsilon_0A}{C_1}=\mathrm{\frac{8,85\cdot{10}^{-12}{\frac{As}{Vm}\cdot2,5\cdot{10}^{-9}m^2}}{2,313\cdot{10}^{-13}F\mathrm{\ } }=9,565\cdot {10}^{-6}m=9.565\ \mu m}\)

\(9,565\cdot{10}^{-7}\mathrm{m}\)

Leider nein. Bitte überprüfen Sie die Zehnerpotenzen.

\(9,565\cdot{10}^{6}\mathrm{m}\)

Leider nein. Bitte überprüfen Sie die Zehnerpotenzen.

\(19,13\cdot{10}^{-6}\mathrm{m}\)

Leider nein. Schauen Sie, ob Sie sich verrechnet haben.

Aufgabe 7 von 7

Die Auslenkung \(x\) Masse ist der ursprüngliche Plattenabstand \(d_{E0}\) minus neuem Plattenabstand \(d_1\):

\(x =d_{E0}-d_1=\mathrm{10\mu m-9,565\mu m=0,435\mu m}\)

Aufgrund des Kräftegleichgewichtes ist der Betrag der Federkraft \(F_F\)  gleich dem Betrag der Trägheitskraft \(F_T\) .

\(F_F=c\cdot x=F_T=m\cdot a\)

Stellen Sie nun nach der Federkonstante \(c\) um und setzen Sie die Werte ein, um Ihre Lösung zu erhalten. Welche Formel samt Ergebnis ist richtig?

Bitte auswählen

\(c=\frac{m\cdot a}{x}=\mathrm{\frac{2,336\cdot{10}^{-9}kg\cdot5{\frac{m}{s^2}}}{0,435\cdot{10}^{-6}m}=2,68\cdot{10}^2{\frac{N}{m}}}\)

Leider nein, bitte überprüfen Sie Ihre Rechnung, insbesondere die Zehnerpotenzen.

\(c=\frac{x\cdot m}{a}=\mathrm{\frac{0,435\cdot{10}^{-6}m\ \cdot2,336\cdot{10}^{-9}kg}{5{\frac{m}{s^2}}}=2,032\cdot{10}^{-16}{\frac{kg}{s^2}}}\)

Leider nein, bitte überprüfen Sie Ihre Rechnung, insbesondere das Umstellen der Gleichung.

\(c=\frac{m\cdot a}{x}=\mathrm{\frac{2,336\cdot{10}^{-9}kg\cdot5{\frac{m}{s^2}}}{0,435\cdot{10}^{-6}m}=2,68\cdot{10}^{-2}{\frac{N}{m}}}\)

Richtig. Sehr gut gerechnet.

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