BW² - Beispielaufgaben aus dem Studium

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Mathematik – Matrizen

Dieses Aufgabengebiet wurde erstellt von Thomas Westermann.^[1]

Das Quellen- und Literaturverzeichnis zu dieser Seite finden Sie hier.

Aufgabe 1 von 2

BESCHREIBUNG EINES VIERPOLS

Die Schaltung in Abb. 1 heißt linearer, elektrischer Vierpol. Gesucht ist der Zusammenhang zwischen den Eingangsgrößen \(i_0\), \(u_0\) und den Ausgangsgrößen \(i_1\), \(u_1\).

Abb. 1: Elektrischer Vierpol
Quelle: Westermann 2015: 111 / Darstellung leicht modifiziert

Um die Modellgleichungen aufzustellen, verwenden Sie die Kirchhoffschen Gesetze: Der Knotensatz besagt, dass die Summe der in einem Knoten zu- und abfließenden Ströme gleich Null ist. Der Maschensatz besagt, dass in einer Masche die Summe aller Spannungen Null ergibt.

Wenden Sie bitte Knoten- und Maschenregel an.

\(i_0=i_{R_1}+i_{R_3}\)

\(u_0=R_3\,i_{R_3}+\,u_1\)

\(i_{R_3}=i_{R_2}+i_1.\)

Um die gesuchte Abhängigkeit der Eingangsgrößen von der Ausgangsgrößen zu erkennen, ersetzen Sie \(i_{R_1}=\frac 1{R_1}u_0\), \(i_{R_2}=\frac 1{R_2}u_1\) und eliminieren die Größe \(i_{R_3}\) aus diesem System, so dass nur noch \(i_0\), \(u_0\) und \(i_1\), \(u_1\) vorkommen.

\(u_0=\frac{R_2+R_3}{R_2} u_1 + R_3 i_1\)

\(i_0=\frac{R_1+R_2+R_3}{R_1\,R_2} u_1 + \frac{R_1+R_3}{R_1} i_1\)

Die Eingangsgrößen stehen nur auf der linken Seite der Gleichung; die Ausgangsgrößen auf der rechten Seite. Man hat nur noch zwei Gleichungen für zwei Unbekannte. Führt man die Verknüpfungsmatrix

\(M=\left(\begin{array}{cc}\frac{R_2+R_3}{R_2} & R_3 \\& \\\frac{R_1+R_2+R_3}{R_1\,R_2} & \frac{R_1+R_3}{R_1}\end{array}\right)\)

ein, so gilt die folgende Beziehung zwischen den Eingangsgrößen \(i_0\), \(u_0\) und den Ausgangsgrößen \(i_1\), \(u_1\):

\(\begin{equation} \left( \begin{array}{c} u_0 \\ i_0 \end{array} \right) =M\left( \begin{array}{c} u_1 \\ i_1 \end{array} \right). \end{equation}\)

Aufgabe 2 von 2

KETTENSCHALTUNG VON VIERPOLEN

Gegeben ist eine Kette von Vierpolen (Abb. 2).

Abb. 2: Lineare Kette von Vierpolen
Quelle: Westermann 2015: 112 / Darstellung leicht modifiziert

Wir verhält sich das Gesamtsystem, wenn man Aufgabe 1 verwendet, um einen Vierpol in Form einer Matrix zu beschreiben?

Übernehmen Sie die Beschreibung eines Vierpols aus Aufgabe 1, um die Verkettung von zwei Vierpolen zu beschreiben.

Schaltet man einen zweiten Vierpol mit gleichen Widerständen hinzu, gilt

\(\left( \begin{array}{c} u_0 \\ i_0 \end{array} \right) =M\left( \begin{array}{c} u_1 \\ i_1 \end{array} \right) \text{und }\left( \begin{array}{c} u_1 \\ i_1 \end{array} \right) =M\left( \begin{array}{c} u_2 \\ i_2 \end{array} \right),\)

d.h. zwischen den Eingangsgrößen \(u_0\), \(i_0\) und den Ausgangsgrößen \(u_2\), \(i_2\) besteht die Beziehung

\(\left( \begin{array}{c} u_0 \\ i_0 \end{array} \right) =M\cdot M\,\left( \begin{array}{c} u_2 \\ i_2 \end{array} \right).\)

Wie lautet die Beschreibung von \(n\) Vierpolen?

Für eine lineare Kette von \(n\) identischen Vierpolen gilt folglich

\(\left( \begin{array}{c} u_0 \\ i_0 \end{array} \right) =M^n\left( \begin{array}{c} u_n \\ i_n \end{array} \right) .\)

Der Vierpol habe die Widerstände \(R_1=R_2=100\ \Omega ,\,R_3=500\ \Omega\) . Wie lautet die Transfermatrix für eine Schaltung von drei Vierpolen?

Das Übertragungsverhalten des Vierpols ist dann gegeben durch die Übertragungsmatrix

\(M:=\left( \begin{array}{cc} 6 & 500 \\ 0.07 & 6 \end{array} \right).\)

Für eine Schaltung von drei Vierpolen erhalten wir die Transfermatrix \(T\) :

\(\begin{equation} T=M^3=\left( \begin{array}{rr} 846.00 & 71500 \\ 10.01 & 846.00 \end{array} \right) \end{equation}\)

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