Liegt ein Körper auf einer schiefen Ebene (mit Neigungswinkel \(\alpha\)), so kann man die auf den Körper wirkende Erdanziehungskraft \(F_g=m\cdot g\) in eine Komponente senkrecht zur Ebene und in eine Komponente parallel zur Ebene zerlegen. Diese beiden Komponenten werden als Normalkraft \(F_N=m\cdot g\cdot\mathrm{cos}(\alpha)\) und als Hangabtriebskraft \(F_H=m\cdot g\cdot\mathrm{sin}(\alpha)\) bezeichnet.

Die Hangabtriebskraft ist die Ursache dafür, dass der Körper den Hang hinabgleiten kann, die Normalkraft verursacht hingegen eine Reibungskraft \(F_R\), die der Bewegung entgegengerichtet ist.

Solange der Körper steht, spricht man von der Haftreibung. Solange die Hangabtriebskraft nicht zu groß wird, kann sie von der Haftreibungskraft kompensiert werden, und der Körper bleibt stehen. Der maximale Wert, den die Haftreibungskraft annehmen kann ist gegeben durch

\(F_R^{\mathrm{max}}=\mu_H\cdot F_N\)

und ist somit proportional zur Normalkraft, mit dem Haftreibungskoeffizienten \(\mu_H\). Der Koeffizient hängt hierbei davon ab, aus welchen Stoffen der Körper und die Ebene bestehen. Nur wenn die Hangabtriebskraft größer ist als die maximale Haftreibungskraft, dann beginnt der Körper den Hang hinab zu gleiten.

Berechnen Sie den Mindestwinkel \(\alpha\), bei dem der Körper zu gleiten beginnt. Dazu müssen Sie die Hangabtriebskraft mit der Haftreibungskraft gleichsetzen.

Nun ist ein Körper mit Masse \(m_1\) auf der schiefen Ebene über ein Seil, das über eine Rolle umgelenkt wird, mit einem zweiten Körper mit Masse \(m_2\) verbunden, der auf einer horizontalen Ebene liegt. Wir vernachlässigen hierbei die Masse des Seils und die Reibungskräfte in der Rolle. Auf den zweiten Körper wirkt ebenfalls eine Haftreibungskraft. Der Haftreibungskoeffizient sei der Einfachheit halber für beide Massen gleich groß mit \(\mu_H=1\).

Der Mindestwinkel, ab dem die Körper zu gleiten beginnen, ist nun nicht mehr unabhängig von den beiden Massen. Durch Gleichsetzen der Hangabtriebskraft mit der Summe der Reibungskräfte erhält man den Ausdruck

\(m_1\cdot g\cdot\mathrm{sin}\mathrm {(\alpha)}=\mu_H \cdot m_1 \cdot g \cdot\mathrm{cos} \mathrm {(\alpha)}+ \mu_H \cdot m_2 \cdot g.\)

Durch Kürzen von \(g\) und mit der Annahme von oben, dass \(\mu_H=1\), erhält man nach Umstellen und Ausklammern von \(m_1\) die Gleichung

\(m_1\cdot\left[\mathrm{sin}(\alpha)-\mathrm{cos}(\alpha)\right]=m_2.\)

Leider kann man diese Gleichung nicht einfach nach dem Winkel \(\alpha\) auflösen. In diesem Fall macht man in der Physik häufig eine Näherung. Hier betrachten wir z.B., wie sich der Mindestwinkel \(\alpha\) ändert, wenn die Masse \(m_2\) ganz klein ist. Man geht dann aus vom Ergebnis für \(\alpha\) bei \(m_2=0\) und entwickelt die problematische Funktion (also hier den Sinus und den Cosinus) für kleine Abweichungen von diesem Winkel in eine Potenzreihe. Eine solche Entwicklung wird auch als Taylorentwicklung bezeichnet. Allgemein kann man die Entwicklung einer Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_0\) in eine Potenzreihe beschreiben als  

\(f\left(\Delta\right)=\sum_{n=0}^{\infty}{c_n\cdot\Delta^n},\)

wobei \(\Delta=x-x_0\) die Abweichung von \(x_0\) beschreibt und die \(c_n\) Entwicklungskoeffizienten sind, die man wiederum aus der Funktion \(f(x)\) berechnen kann, worauf wir hier nicht weiter eingehen wollen. Der Trick ist nun, dass man von der unendlichen Summe nur ganz wenige Terme betrachtet, die für genügend kleine Abweichungen von \(x_0\) das Ergebnis aber ausreichend genau beschreiben. Möchte man das Ergebnis dann noch genauer wissen, kann man je nach Bedarf noch mehr Terme aus der Summe hinzufügen.

In unserem konkreten Fall entwickeln wir die Funktionen \(\mathrm{sin}(\alpha)\) und \(\mathrm{cos}(\alpha)\) an der Stelle \(\alpha_0=\mathrm{arctan}(\mu_H)=45°\). Hierbei handelt es sich um den Mindestwinkel, unter dem eine einzelne Masse auf der schiefen Ebene mit Haftreibungskoeffizient \(\mu_H=1\) zu gleiten beginnt, siehe Aufgabe 1. Es gilt

\(\mathrm{sin}(\Delta)\approx\frac{1}{\sqrt2}\cdot\left[1+\Delta-\frac{1}{2}\Delta^2\right],\)

\(\mathrm{cos}(\Delta)\approx\frac{1}{\sqrt2}\cdot\left[1-\Delta-\frac{1}{2}\Delta^2\right],\)

wobei hier \(\Delta=\ \alpha-45°\) ist und jeweils bis zu 2. Ordnung entwickelt wurde, d.h. bis zur 2. Potenz von \(\Delta\). Der Winkel \(\Delta\) ist hierbei in der Einheit rad gegeben; Umrechnung: \(rad\cdot\frac{180}{\pi}\rightarrow°.\)

Der Fehler, den man hierbei macht, ist von der Größenordnung \(\Delta^3\).

Berechnen Sie mit Hilfe der Taylor-Entwicklung der Sinus- und der Cosinusfunktion den Winkel \(\Delta\) unter dem die Massen \(m_2\ll{ m}_{1}\) zu gleiten beginnen. Setzen Sie dazu die Entwicklungen in die Gleichung \(m_1\cdot[\mathrm{sin}(\alpha)-\mathrm{cos} (\alpha)]=m_2\) ein.

Die Massen und Winkel sind nun alle so gewählt, dass die beiden Körper zu gleiten beginnen. Hierbei gleitet der Körper mit Masse \(m_1\)  die schiefe Ebene hinab, und der Körper mit Masse \(m_2\) gleitet auf der horizontalen Ebene. Ähnlich wie bei der Haftreibung entstehen beim Gleiten der Körper die Gleitreibungskräfte

\(F_R=\mu_G\cdot F_N,\)

die mit dem Gleitreibungskoeffizienten \(\mu_G\) proportional sind zur Normalkraft \(F_N\).

Die Gesamtheit alle Kräfte (Hangabtriebskraft + Reibungskräfte) führt zu einer Beschleunigung der beiden Körper. Beide Körper werden hierbei gleich stark beschleunigt, da der erste Körper den zweiten mittels des Seils hinter sich herzieht. Nach dem 2. Newtonschen Gesetz lautet der Zusammenhang zwischen der Beschleunigung \(a\) und der Gesamtkraft \(F_{tot}\)

\(F_{tot}=m_{tot} \cdot a,\)

wobei \(m_{tot}\) die gesamte beschleunigte Masse bezeichnet. Bei der Berechnung der Gesamtkraft muss man hierbei die Richtungen der Einzelkräfte berücksichtigen. Bei konstanter Beschleunigung \(a\) steigt die Geschwindigkeit der Körper an mit der Zeit \(t\) linear an:

\(v= a \cdot t\)

Allerdings wissen wir aus Erfahrung, dass gleitende Körper nicht beliebig schnell werden. Dies liegt an weiteren Reibungskräften (z.B. an der Luftreibung), die proportional sind zur Geschwindigkeit. Für kleine Geschwindigkeiten gilt für die Luftreibung

\(F_{LR}=\gamma\cdot v,\)

mit einem Reibungskoeffizienten \(\gamma\). (Falls Wirbel entstehen, kann die Luftreibung aber auch quadratisch mit der Geschwindigkeit ansteigen.) Die Endgeschwindigkeit, die nach einer Beschleunigungsphase erreicht wird, ergibt sich dann aus der Bedingung, dass die Beschleunigung \(a=0\) ist.

Berechnen Sie die Beschleunigung \(a\) mit und ohne Luftreibung. Verwenden Sie hierbei der Einfachheit halber, dass

\(m_1=m_2=m=1\ kg,\)

\(\mu_G=\frac{1}{4},\)  \(\mathrm{sin}(\alpha)=\mathrm{cos}(\alpha)=\frac{1}{\sqrt2}\) (d.h. \(\alpha = 45°\)),

und \(\gamma=2\frac{N\cdot s}{m}\) ist.

Verwenden Sie \(g=10\ m/s^2\).