Die Gravitationskraft führt immer zu einer Anziehung zwischen den Massen entlang ihrer Verbindungslinie. Der Betrag der Gravitationskraft \(F_G\) ist gegeben durch die Formel

\(F_G=G\cdot\frac{m_1\cdot m_2}{r^2},\)

mit der sogenannten Gravitationskonstanten \(G\), den Massen \(m_1\) und \(m_2\) der beiden Körper in Kilogramm und dem Abstand \(r\) der beiden Körper in Meter. Die Gravitationskonstante ist eine Naturkonstante und besitzt den Wert

\(G=6,674\cdot{10}^{-11}\frac{m^3}{kg\cdot s^2}.\)

In der ersten Aufgabe wurde gezeigt, dass die Gravitationskraft gegeben ist durch

\(F_G=G\cdot\frac{m_1\cdot m_2}{r^2}.\)

Mit Hilfe dieser Formel kann man auch die Kraft berechnen, mit der ein Gegenstand der Masse \(m\) an der Erdoberfläche von der Erde angezogen wird.  Für die Masse \(m_1\) setzt man die Masse der Erde ein, \(m_1=m_E\), und für die Masse \(m_2\) diejenige des Gegenstandes, \(m_2=m\).

Wichtig ist nun, dass mit dem Abstand \(r\) der Massen der Abstand der Schwerpunkte der beiden Körper gemeint ist. Der Schwerpunkt ist hierbei der Massenmittelpunkt eines Körpers. Im Fall der Erde liegt der Schwerpunkt ziemlich genau im Zentrum der Erde. Der Abstand des Körpers und der Erde ist damit in sehr guter Näherung so groß wie der Radius der Erde, \(r=r_E\). Damit ist die Kraft gegeben durch den Ausdruck

\(F_G=G\cdot\frac{m_E}{r_E^2}\cdot m.\)

Diese Formel kann man auch einfacher schreiben mit der Erdbeschleunigung \(g\) als

\(F_G=g\cdot m.\)

Hierbei ist also

\(g=G\cdot\frac{m_E}{r_E^2}.\)

Setzt man Zahlen für die Gravitationskonstante \(G\), die Masse der Erde \(m_E\) und den Erdradius \(r_E\) ein, erhält man als Wert für die Erdbeschleunigung

\(g=9,81 \frac{m}{s^2}.\)

Der Riesen-Planet Tatooine besitzt die zehnfache Masse der Erde, \(m_T=10\cdot m_E,\), und den doppelten Radius der Erde, \(r_T=2\cdot r_E\). Wie groß ist die Beschleunigung \(g_T\) auf der Oberfläche von Tatooine im Vergleich zur Erdbeschleunigung \(g\)?

Hinweis: Für die Lösung dieser Aufgabe werden die Zahlwerte der Gravitationskonstante und der Massen und Radien von Erde und Tatooine NICHT benötigt. Gehen Sie von der Formel

\(g_T=G\cdot\frac{m_T}{r_T^2}\)

aus und setzen Sie den gegebenen Zusammenhang zwischen \(m_T\) und \(m_E\) bzw. zwischen \(r_T\) und \(r_E\) ein.

In der zweiten Aufgabe wurde die Beschleunigung an der Oberfläche des Planeten Tatooine mit der Erdbeschleunigung verglichen. Nun soll eine allgemeine Beziehung zwischen der Beschleunigung \(g\) an der Oberfläche eines Planeten in Abhängigkeit von seinem Radius \(r\) hergeleitet werden. Hierbei nehmen wir an, dass die Dichte \(\rho\) der Planeten gegeben ist. Dadurch hängt die Masse

\(m=\rho\cdot V\)

des kugelförmigen Planeten über sein Volumen  

\(V=\frac{4\pi}{3}r^3\)

nur noch von seinem Radius ab.