BW² - Beispielaufgaben aus dem Studium

Elektromagnetismus – Lorentzkraft

Wir haben ein Video vorbereitet, in dem gezeigt wird, wie man mit Hilfe eines kleinen Neodym-Magneten, einer Schraube, einer Batterie und einem Stück Draht einen Motor bauen kann. Der Magnet hängt magnetisch über die Schraube am Minuspol der Batterie. Sie sehen im Video, dass sich der Magnet zu drehen beginnt, sobald der Stromkreis geschlossen wird und somit ein Strom durch den Magneten fließt.

Video 1 / Copyright: Sebastian Slama, Universität Tübingen

Das Quellen- und Literaturverzeichnis zu dieser Seite finden Sie hier.

Aufgabe 1 von 5

Abb. 1: Skizze eines Lorentzkraft-Motors 1
Grafik: Sebastian Slama

Der Aufbau ist hier nochmal schematisch skizziert. Hierbei nehmen wir der Einfachheit halber an, dass der Strom im Magneten zuerst von außen bis zur Mitte fließt, und dann nach oben. (Der tatsächliche Stromfluss ist natürlich komplizierter)

Ursache für die Rotation des Magneten ist die sogenannte Lorentzkraft. Sie wirkt auf eine Ladung \(q\), die sich in einem Magnetfeld \(\vec{B}\) mit Geschwindigkeit \(\vec{v}\) bewegt und ist gegeben durch

\({\vec{{F}}}_{L}={q}\cdot\vec{{v}}\times\vec{{B}}.\)

Zwischen den Vektoren \(\vec{v}\) und \(\vec{B}\) steht ein Kreuz- oder Vektorprodukt, d.h., das Ergebnis des Produkts ist ein Vektor, der in die Richtung der Kraft \({\vec{{F}}}_{L}\) zeigt.

Im Beispiel des stromdurchflossenen Magneten sind die bewegten Ladungen die Elektronen \({e}^-\), die für den Stromfluss verantwortlich sind, und das Magnetfeld ist das innerhalb des Permanentmagneten. Während die Kraft auf ein einzelnes Elektron sehr klein ist, kann die auf alle Elektronen wirkende Gesamtkraft sehr viel größer sein, da typischerweise sehr viele Elektronen zum Stromfluss beitragen.

Die über alle Elektronen summierte Gesamtkraft hängt dann vom Strom ab und ist gegeben durch folgende Formel:

\({\vec{{F}}}_{{L},{I}}={I}\cdot\vec{{x}}\times\vec{{B}},\)

mit dem Strom \(I\) und einem Vektor \(\vec{x}\), der in die technische Stromrichtung zeigt und die Länge des Stromflusses besitzt.

Wichtig für die Richtung der Kraft ist hierbei das Kreuzprodukt zwischen \(\vec{x}\) und \(\vec{B}\) d.h., die Gesamtkraft auf den Strom steht senkrecht sowohl zur Stromrichtung als auch zum Magnetfeld.

Die Richtung von \({\vec{{F}}}_{L}\) kann mit Hilfe der Rechte-Hand-Regel bestimmt werden. Dazu streckt man Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand zueinander senkrecht aus, wie in der Abbildung 2 gezeigt.

Legt man den Daumen in Richtung der technischen Stromrichtung und den Zeigefinger in Richtung des Magnetfeldes, so zeigt der Mittelfinger in die Richtung der Lorentzkraft.

Abb. 2: Rechte-Hand-Regel
Foto: Sebastian Slama

In welche Richtung zeigt die Lorentzkraft? Wählen Sie das richtige Ergebnis.

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Diese Auswahlmöglichkeit ist falsch. Die Lorentzkraft steht senkrecht zu \(\vec{x}\) und \(\vec{B}\).

Diese Auswahlmöglichkeit ist falsch. Die Lorentzkraft steht senkrecht zu \(\vec{x}\) und \(\vec{B}\).

Diese Auswahlmöglichkeit ist falsch. Die Lorentzkraft ergibt sich mit Hilfe der Rechte-Hand-Regel.

Diese Auswahlmöglichkeit ist richtig.

Aufgabe 2 von 5

Verwenden Sie die Informationen aus Aufgabe 1, um die Aufgabe zu beantworten.

In welche Richtung beginnt der Magnet zu rotieren?

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Diese Auswahlmöglichkeit ist richtig. Die Drehrichtung ist gerade andersherum, als es die Lorentzkraft auf die Elektronen vermuten lassen würde. Dies liegt daran, dass wir von außen nicht die Kraft auf die Elektronen sehen, sondern nur die Bewegung des Magneten. Da der Magnet mittels der Lorentzkraft auf die Elektronen wirkt, erfährt er nach actio = reactio eine Gegenkraft. Diese ist entgegengesetzt zur Kraft auf die Elektronen und verursacht bei der gegebenen Situation eine Rotation im Uhrzeigersinn.

Diese Auswahlmöglichkeit ist falsch. Die Drehrichtung ist gerade andersherum, als es die Lorentzkraft auf die Elektronen vermuten lassen würde. Dies liegt daran, dass wir von außen nicht die Kraft auf die Elektronen sehen, sondern nur die Bewegung des Magneten. Da der Magnet mittels der Lorentzkraft auf die Elektronen wirkt, erfährt er nach actio = reactio eine Gegenkraft. Diese ist entgegengesetzt zur Kraft auf die Elektronen und verursacht bei der gegebenen Situation eine Rotation im Uhrzeigersinn.

Aufgabe 3 von 5

Abb. 9: Skizze eines Lorentzkraft-Motors 2
Grafik: Sebastian Slama

Wir haben in Aufgabe 1 und 2 bereits die Funktionsweise eines elektrisch betriebenen Motors kennengelernt, der auf dem physikalischen Effekt der Lorentzkraft beruht, siehe Skizze.

Hierbei haben wir festgestellt, dass sich bei der gegebenen Orientierung des Magneten mit Magnetfeldlinien von unten nach oben und gegebener technischer Stromrichtung von außen zum Zentrum des Magneten dieser im Uhrzeigersinn dreht.

Was passiert, wenn man den Magneten bzw. die Stromrichtung umdreht? Mehrere Antworten sind möglich.

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Wenn man den Magneten andersrum an die Batterie hängt und die Stromrichtung gleich lässt, kehrt sich die Drehrichtung des Magneten um.

Wenn man den Magneten andersrum an die Batterie hängt und die Stromrichtung gleich lässt, bleibt die Drehrichtung des Magneten gleich.

Wenn man die Stromrichtung umdreht und den Magneten in gleicher Orientierung an der Batterie hängen lässt, kehrt sich die Drehrichtung des Magneten um.

Wenn man die Stromrichtung umdreht und den Magneten in gleicher Orientierung an der Batterie hängen lässt, bleibt die Drehrichtung des Magneten gleich.

Wenn man den Magneten andersrum an die Batterie hängt und gleichzeitig die Stromrichtung umdreht, kehrt sich die Drehrichtung des Magneten um.

Wenn man den Magneten andersrum an die Batterie hängt und gleichzeitig die Stromrichtung umdreht, bleibt die Drehrichtung des Magneten gleich.

Die Lorentzkraft \({\vec{{F}}}_{L}\) ist proportional zum Kreuzprodukt aus der Stromrichtung \(\vec{x}\) und der Magnetfeldrichtung \(\vec{B}\). Es gilt \({\vec{F}}_L=I\cdot\vec{x}\times\vec{B}\).

Wenn sich z.B. die Stromrichtung umdreht, wird aus \(\vec{x}\) die entgegengesetzte Richtung \(-\vec{x}\). Daher dreht sich auch die Richtung der Lorentzkraft um. Gleiches gilt, wenn sich die Magnetfeldrichtung umdreht und aus \(\vec{B}\) ein \(-\vec{B}\) wird. Drehen sich beide Größen gleichzeitig um, so heben sich die beiden negativen Vorzeichen von \(-\vec{x}\) und \(-\vec{B}\) gegenseitig auf. Die Kraft zeigt in diesem Fall in die ursprüngliche Richtung.

Aufgabe 4 von 5

In den ersten beiden Teilen der Aufgabe haben wir die physikalischen Grundlagen gelegt. Jetzt wollen wir berechnen, wie groß die wirkende Lorentzkraft ist und mit welchem Drehmoment der Magnet in Rotation versetzt wird.

Die 1,5 V Batterie liefert einen Strom von \(I=5\ \), der Magnet besitzt im Inneren ein Magnetfeld von \(B=1\ \mathrm{T}\). Der Radius des Magneten und somit die Wegstrecke, die der Strom von der Außenseite bis zur Mitte durchfließt, beträgt \(R=8\ mm\).

Wie groß ist der Betrag der Lorentzkraft \({\vec{F}}_{L,I}=I\cdot\vec{x}\times\vec{B}\), die auf die gesamte Strecke wirkt?
Hinweis: Da \(\vec{x}\) und \(\vec{B}\) senkrecht zueinander stehen, gilt \({|\vec{F}}_{L,I}|=I\cdot|\vec{x}|\cdot|\vec{B}|.\) Einheiten: \(1\ \mathrm{TAm}=\ \mathrm{1\ N}.\)

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\({|\vec{F}}_{L,I}|=0,01\ \mathrm{N}\)

\({|\vec{F}}_{L,I}|=0,02\ \mathrm{N}\)

\({|\vec{F}}_{L,I}|=0,03\ \mathrm{N}\)

\({|\vec{F}}_{L,I}|=0,04\ \mathrm{N}\)

\({|\vec{F}}_{L,I}|=0,05\ \mathrm{N}\)

Die Lorentzkraft ergibt sich mit \(x = R\) zu

\({|\vec{F}}_{L,I}|=I\cdot R\cdot B=5\ \mathrm{A} \cdot 8\cdot 10^{-3}m \cdot1\ \ \mathrm T=0,04\ \mathrm N.\)

Aufgabe 5 von 5

Was den Magneten in Rotation versetzt, ist das sogenannte Drehmoment \(M,\) mit

\(M=x\cdot|{\vec{F}}_{L,I}|\).

Das Drehmoment wird von der Lorentzkraft verursacht. Hierbei spielt es eine Rolle, in welchem Abstand \(x\) von der Drehachse die Kraft wirkt. Im vorliegenden Fall ist die Kraft auf einen ganzen Abstandsbereich verteilt. Daher muss man die auf ein infinitesimal kleines Stück \(dx\) des Stroms wirkende Kraft \(d\) schreiben als

\(dF=I\cdot B\ dx\)

und das entsprechende infinitesimale kleine Drehmoment

\(dM=x\cdot I\cdot B\ dx\)

über die gesamten Strecke des Strom, also von \(x=0\) bis zu \(x=R\) aufintergrieren.

Leiten Sie eine Formel für das auf den Magneten wirkende Drehmoment her und setzen Sie die Zahlen ein. Welche Arbeit ist richtig?

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\(M=1,2\cdot{10}^{-4}\ \mathrm{Nm}\)

\(M=1,4\cdot{10}^{-4}\ \mathrm{Nm}\)

\(M=1,6\cdot{10}^{-4}\ \mathrm{Nm}\)

\(M=1,8\cdot{10}^{-4}\ \mathrm{Nm}\)

\(M=2,0\cdot{10}^{-4}\ \mathrm{Nm}\)

Das Drehmoment ergibt sich durch Integration:

\(M=\int d M=\int_{0}^{R}{x\cdot I\cdot B\ dx}=I\cdot B\cdot\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^R=I\cdot B\cdot\frac{R^2}{2}.\)

Wir setzen Zahlen ein:

\(M=I\cdot B\cdot\frac{R^2}{2}=5\ \mathrm{A} \cdot \mathrm{1\ T} \mathrm{\ \cdot}\frac{\left(8\cdot{10}^{-3}\mathrm{m} \right)^2}{2}=1,6\cdot{10}^{-4}\ \mathrm{Nm}\).

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